Acht mathematische Aufgabentypen für nachhaltiges Lernen
Lernen Sie ein Strukturmodell kennen, dass Ihnen hilft vielseitige und lernförderliche Aufgaben zu konstruieren
Aufgaben – allgemein verstanden als Aufforderungen zum Handeln auf geistiger, sprachlicher oder enaktiver Ebene – sind (nicht nur) in mathematikaffinen Studiengängen traditionell ein zentrales Instrument, um eine intensive und vielseitige Beschäftigung mit fachlichen Inhalten bei den Studierenden auszulösen. Mit Aufgaben können konkrete Ziele und Inhalte einer Lehrveranstaltung im Kontext der Ausbildungsziele und Kompetenzerwartungen des Studienganges abgebildet werden. Aufgaben werden für Übungen und Tutorien, für Lernpfade in digitalen Lernumgebungen oder für Kontrollfragen in Lehrbüchern benötigt.
Entscheidend für Umfang und Qualität eines Lernzuwachses ist die Art der Auseinandersetzung mit den jeweiligen Lehrinhalten, also mit den neu zu erlernenden Begriffen, Zusammenhängen und Verfahren bis hin zu allgemeinen Vorgehensstrategien und Konzepten eines Studienfaches.
Beim Bearbeiten von Aufgaben hängt die Art der Auseinandersetzung mit neuen Wissenselementen, von den individuellen Lernvoraussetzungen und der Motivationen der Studierenden ab. Gleichzeitig wird sie auch vom Lernpotenzial bestimmt, das im Umgang mit den gestellten Aufgaben in der Lehrveranstaltung angelegt ist. Dazu gehört zunächst das Potenzial, das in der Aufgabenstellung selbst steckt und dann alles das, was in der Lehrveranstaltung damit gemacht wird.
Um ein vielseitiges Lernpotenzial in Aufgaben zu verankern, stellt sich bereits bei ihrer Konstruktion oder bei der Auswahl aus vorhandenen Aufgabensammlungen die Frage nach einem geeigneten Strukturmodell. Oder konkreter gefragt:
Welche verschiedenen Aufgabentypen sollten bspw. in den Übungsblättern zu den Mathematikveranstaltungen der ersten Semester zu jeweils einem zentralen fachlichen Thema vorkommen, um eine vielseitige, anwendungsbezogene und dabei auch verstehensorientierte Auseinandersetzung mit diesen Lerninhalten grundsätzlich für alle Studierenden zu ermöglichen? Wie können dabei auch leistungsstärkeren Studierenden geeignete vertiefende Lerngelegenheiten angeboten werden, ohne bereits die nächsten Lerninhalte vorwegzunehmen?
Das im Folgenden vorgestellte Strukturmodell für acht Aufgabentypen erfasst die für ein grundlegendes Verständnis notwendigen verschiedenen Perspektiven auf einen Lerninhalt, um damit „nachhaltiges Lernen“ zu ermöglichen und zu fördern. Wir präzisieren dazu unseren allgemeinen Aufgabenbegriff und knüpfen an die eigenen Erinnerungen und Vorstellungen von einer „Textaufgabe“ aus der Schulzeit an: Es war meist eine Situation mit Daten gegeben und ein Ergebnis zu einer bestimmten Frage wurde gesucht, und dazu mussten Rechenwege gefunden und ausgeführt werden.
Unter Aufgaben werden im Folgenden Aufforderungen zur eigenständigen Aneignung von Lehrinhalten verstanden, die durch drei Strukturelemente bestimmt werden: Eine Anfangssituation A, eine Zielsituation Z sowie Lösungswege L, die geeignet sind, von der Anfangssituation zur Zielsituation zu gelangen. Die Abb. 1 soll die drei Strukturelemente veranschaulichen.
In den Lösungswegen L stecken jetzt unsere Lehrinhalte, die aus verschiedenen Perspektiven betrachtet bzw. verwendet werden sollen, um sicheres Wissen und Können bei den Studierenden aufzubauen. Mit Lösungswegen L sind in weitem Sinn alle Transformationen einer Anfangssituation A in eine Zielsituation Z gemeint.
Im Folgenden werden anhand der Struktur in Abb.1 acht unterscheidbare Aufgabentypen schrittweise entwickelt, indem alle Kombinationen durchgespielt werden, wenn die drei Strukturelemente A, L, und Z jeweils entweder bekannt bzw. explizit vorgegeben sind oder sie nicht hinreichend bekannt bzw. vorgegeben sind.
Wenn alle drei Strukturelemente vollständig vorgegeben und damit bekannt sind, dann handelt es sich um eine schon gelöste Aufgabe. Solche fertig gelösten Aufgaben kennen wir als Musterbeispiele aus Vorlesungen, Lehrbüchern und Musterlösungen zu Übungsblättern und Klausuraufgaben. Besonders bei Klausurvorbereitungen wird noch oft mit Hilfe solcher Beispiele gelernt, was allerdings nicht die effektivste Form darstellt. Musterbeispiele als gelöste Aufgaben bilden zwar einen wichtigen Zugang und Einstieg in das Erlernen mathematischer Inhalte. Allerdings werden bei der Arbeit mit Musterbeispielen im Gedächtnis nur bestimmte Lösungswege mit bestimmten Aufgabenformulierungen verknüpft, aber wenn Testaufgaben dann etwas anders gestellt werden und ggf. auch andere Perspektiven auf die Lerninhalte erfordern, gelingt es oft nicht, einen Zugang zur Aufgabe und passende Lösungswege zu finden. Musterlösungen sind kein Ersatz für ein gut vernetztes theoretisches Wissen, das einen solchen Überblick über ein Thema ermöglicht, mit dem Aufgabenklassen erkannt werden können und Wissenstransfer möglich wird. Eine solche Vernetzungsqualität theoretischen Wissens kann mit den folgenden Aufgabentypen unterstützt werden.
Wir geben unserem ersten Aufgabentyp, also dem Tripel (A, L, Z), die Belegung „alles bekannt“, also (✓,✓,✓).
Wenn (sehr grob) nur zwei Zustände für die drei Strukturelemente A, L und Z unterschieden werden, nämlich kurz gefasst „bekannt“ (✓) oder „unbekannt“ (-), dann lassen sich noch sieben weitere Belegungen für das Tripel (A, L, Z) finden. Tab.1 zeigt im Überblick alle acht Aufgabentypen mit ihrer funktionellen Bedeutung für das Lernen.
Strukturmodell für acht Aufgabentypen
| Anfangssituation | Lösungswege | Zielsituation | Beschreibung | |
|---|---|---|---|---|
| 1. | ✓ | ✓ | ✓ | gelöste Aufgabe, ein Erklärungsmuster oder Beispiel |
| 2. | ✓ | ✓ | – | einfache Bestimmungsaufgabe; eine bekannte Handlungsanweisung ist nur noch auszuführen |
| 3. | – | ✓ | ✓ | einfache Umkehraufgabe; die Eingangsvoraussetzungen für ein mit bekannten Vorgehensweisen erzieltes Resultat sind gefragt |
| 4. | ✓ | – | ✓ | Beweis- oder Begründungsaufgabe; eine Argumentationskette oder Strategie ist gesucht (z. B. eine Spielstrategie) |
| 5. | ✓ | – | – | schwere Bestimmungsaufgabe; geeignete Wissenselemente müssen ggf. erst erarbeitet werden |
| 6. | – | – | ✓ | schwierige Umkehraufgabe |
| 7. | – | ✓ | – | Aufforderung, eine Aufgabe zu einem Wissensgebiet selbst zu erfinden |
| 8. | (–) | – | (–) | offene Problemsituation, Projekt, Modellbildung |
| Tab. 1 Klassifikation von Aufgabentypen nach Bekanntheit ihrer Strukturelemente nach Bruder und Sonnberger (2007, S. 233) | ||||
Das, was zunächst wie eine „theoretische Spielerei“ erscheinen könnte, indem kombinatorisch Leerstellen in einem System von drei geordneten Elementen verteilt werden, repräsentiert eine Art aufgabenbasiertes Lernmodell. Die Zahl der Leerstellen lässt sich als ein Maß für die „Offenheit“ einer Aufgabe deuten und es gibt damit auch gewisse Bezüge zur Aufgabenschwierigkeit.
Die eingangs gestellte Frage nach den relevanten Aufgabentypen für Übungsblätter zu einer Mathematikveranstaltung in den ersten Semestern lässt sich nun so beantworten, dass bis auf den letzten Typ, die offene Problemsituation, alle anderen Aufgabentypen durchaus sinnvoll sind, wenn das Übungsangebot auch eine Differenzierung zur Förderung von leistungsstarken Studierenden anbieten will.
Für Ingenieurstudiengänge stellen Grundaufgaben, Umkehraufgaben und schwierige Bestimmungsaufgaben anteilmäßig einen Schwerpunkt dar. Das Finden eigener Aufgaben bzw. Beispiele für Anwendungen der Lerninhalte ist den Studierenden auch für ihre Klausurvorbereitung zu empfehlen, um selbst zu überprüfen, wie weit die neuen Inhalte bereits verstanden wurden. Das Format ((-),-,(-)) ist schließlich als Projektaufgabe bereits gut bekannt aus der Projektwoche für Ingenieur:innen, wenn es bspw. darum gehen soll, eine effektive Bratwurst-Wende-Maschine für einen Grill zu bauen.
Autorin: Prof. Regina Bruder
Literaturempfehlungen
Kreim, S., Beck, K. & Ellermann, H. (2018). Entwicklung einer didaktisch fundierten digitalen Aufgabenkultur zur individuellen Förderung von Studierenden des Ingenieurwesens in der Mathematik Grundausbildung, S. 1087 – 1090. In Fachgruppe Didaktik der Mathematik der Universität Paderborn (Hrsg.) Beiträge zum Mathematikunterricht 2018. Münster: WTM-Verlag
Bruder, R. und Sonnberger, J. (2008): Die Qualität steckt im Detail – kreative Aufgabengestaltung und ihre Umsetzung mit E-Learning-Lösungen. In: Zauchner, S., Baumgartner, P., Blaschitz, E. & Weissenbäck, A. (Hrsg.): Offener Bildungsraum Hochschule: Freiheiten und Notwendigkeiten. Münster: Waxmann, S.228-238
